动态规划 - 股票买卖问题

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1. 简介

股票买卖问题是动态规划中的经典问题，涉及如何在股票市场中进行买卖以获取最大利润。这个问题的核心在于确定最佳的买卖时机。本文将详细解析股票买卖问题，并通过代码示例演示如何使用动态规划来解决这个问题。

1.1 问题描述

股票买卖问题可以有多种变体，常见的有以下几种：
(1) 只能进行一次买卖
(2) 可以进行多次买卖，但不能同时进行
(3) 有交易次数限制
(4) 有冷却期
(5) 每次交易需支付手续费

2. 只能进行一次买卖

对于只能进行一次买卖的情况，目标是在给定的价格序列中找到买入和卖出的最佳时机，以获取最大利润。

2.1 动态规划解法

设定两个变量：
(1) min_price：记录当前的最低价格
(2) max_profit：记录当前的最大利润

遍历价格序列，更新 min_price 和 max_profit 即可。

2.2 代码示例

1. def max_profit(prices):
   
2.     min_price = float('inf')
   
3.     max_profit = 0
   
4.     for price in prices:
   
5.         if price < min_price:
   
6.             min_price = price
   
7.         elif price - min_price > max_profit:
   
8.             max_profit = price - min_price
   
9.     return max_profit

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3. 可以进行多次买卖

在可以进行多次买卖的情况下，目标是尽可能多次买卖股票，以获取最大利润。

3.1 动态规划解法

使用一个变量 max_profit 来记录总利润。只要当前价格高于前一天的价格，就进行一次买卖操作。

3.2 代码示例

1. def max_profit(prices):
   
2.     max_profit = 0
   
3.     for i in range(1, len(prices)):
   
4.         if prices<i> > prices[i - 1]:
   
5.             max_profit += prices<i> - prices[i - 1]
   
6.     return max_profit

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4. 有交易次数限制

在有交易次数限制的情况下，目标是利用有限的交易次数，获取最大利润。

4.1 动态规划解法

设定一个二维数组 dp，其中 dp[j] 表示在第 i 天结束时最多进行 j 次交易的最大利润。状态转移方程为：

dp[j] = max(dp[i-1][j], prices - prices[k] + dp[k][j-1]) 其中 k < i

4.2 代码示例

1. def max_profit(k, prices):
   
2.     if not prices:
   
3.         return 0
   
4.     n = len(prices)
   
5.     if k >= n // 2:
   
6.         return sum(max(prices[i + 1] - prices<i>, 0) for i in range(n - 1))
   
7.     dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
   
8.     for j in range(1, k + 1):
   
9.         max_diff = -prices[0]
   
10.         for i in range(1, n):
    
11.             dp<i>[j] = max(dp[i-1][j], prices<i> + max_diff)
    
12.             max_diff = max(max_diff, dp[i-1][j-1] - prices<i>)
    
13.     return dp[-1][-1]

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5. 有冷却期

在有冷却期的情况下，目标是在每次卖出后等待一天才能进行下一次买入操作，以获取最大利润。

5.1 动态规划解法

设定三个变量：
(1) hold：持有股票时的最大利润
(2) sold：卖出股票后的最大利润
(3) rest：冷却期或未进行操作时的最大利润

5.2 代码示例

1. def max_profit(prices):
   
2.     if not prices:
   
3.         return 0
   
4.     n = len(prices)
   
5.     hold = -prices[0]
   
6.     sold = 0
   
7.     rest = 0
   
8.     for i in range(1, n):
   
9.         prev_sold = sold
   
10.         sold = hold + prices<i>
    
11.         hold = max(hold, rest - prices<i>)
    
12.         rest = max(rest, prev_sold)
    
13.     return max(sold, rest)
    

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6. 每次交易需支付手续费

在每次交易需支付手续费的情况下，目标是在进行买卖时减去手续费，以获取最大利润。

6.1 动态规划解法

设定两个变量：
(1) hold：持有股票时的最大利润
(2) cash：未持有股票时的最大利润

6.2 代码示例

1. def max_profit(prices, fee):
   
2.     if not prices:
   
3.         return 0
   
4.     n = len(prices)
   
5.     hold = -prices[0]
   
6.     cash = 0
   
7.     for i in range(1, n):
   
8.         cash = max(cash, hold + prices<i> - fee)
   
9.         hold = max(hold, cash - prices<i>)
   
10.     return cash

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7. 总结

股票买卖问题是动态规划中的经典问题，涉及多个变体。通过本文的讲解和代码示例，读者可以了解如何使用动态规划方法解决这些问题。掌握这些技巧有助于在实际开发中应对类似的优化问题。如果有任何疑问或建议，欢迎交流讨论。

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